בס"ד
כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח – כיצד זה מסתדר עם π?
כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח – כיצד זה מסתדר עם π?
- איתא במשנה מסכת עירובין פרק א' משנה ה' כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח, כלומר כל שהיקפו 3 טפחים אזי קוטרו יהיה 1 טפח.
- והרי המציאות אינה כך, אלא כל אשר בהיקפו 3 טפחים קוטרו כ-0.954 טפח, וכל אשר קוטרו 1 טפח יהיה בהיקפו כ-3.14 טפחים. ופשוט הדבר לכל בר דעת שהיחס בין ההיקף לקוטר הינו בערך 3.14 ובוודאי אינו 3. והדבר קל למדידה וכל אחד יכול להיווכח בעצמו ע"י שייקח דבר עגול (סיר או מחבת) וימדוד בסרט מידה את היקפו וקוטרו ויחלק את היקפו בקוטרו וימצא כי הוא קצת יותר מ-3 ולבטח אינו 3. אמנם קשה לחשב את דיוק היחס π כמה ספרות לאחר הנקודה – אך ברור הדבר כי π גדול מ-3.
- מטענה 1 וטענה 2 נובע כי ח"ו דברי המשנה אינם תואמים את המציאות הפשוטה.
- איתא בתלמוד בבלי מסכת עירובין דף י"ד עמוד א' כל שיש בהיקפו שלשה טפחים יש בו רחב טפח. מנא הני מילי? - אמר רבי יוחנן, אמר קרא : ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגל סביב וחמש באמה קומתו וקו שלשים באמה יסב אתו סביב.
- מטענה 4 נובע כי הים שעשה שלמה היה עגול, ומשפתו עד שפתו ישנן 10 אמות, כלומר קוטרו הינו 10 אמות.
- מטענה 4 נובע כי ההיקף של הים של שלמה היה 30 אמה.
- מטענה 5 וטענה 6 נובע כי ישנו סמך מפסוק כי היחס בין היקף מעגל לקוטרו הינו 3.
- מטענה 2 וטענה 7 נובע כי הפסוק לא עולה בקנה אחד עם המציאות, שהרי אם באמת היו מודדים את הים היו מוצאים את היחס π שהוא 3.14, ואם מדידת הקוטר אמיתית ושווה ל-10 אמות אזי בהיקף היו מוצאים בערך 31.4 אמות ולא 30 אמות כמו שכתוב, ואם מדידת ההיקף אמיתית ושווה ל-30 אמות אזי בקוטר היו מוצאים בערך 9.5 אמות ולא 10 אמות כמו שכתוב. ועוד קשה כיצד שלמה המלך החכם מכל אדם מדד ומצא כי היחס בין היקף המעגל לקוטרו הינו 3, האם ח"ו שלמה לא ידע למדוד היקף וקוטר כראוי?
- לאחר שקלא וטריא (שנסביר בהמשך) מסקנת הגמרא הינה 'כי קא חשיב - מגואי קא חשיב', כלומר המדידות נעשו מבפנים, כך שעובי השפה של הים שעשה שלמה אינו רלוונטי, ונמדדו 10 אמות משפה פנימית לשפה פנימית, ו-30 אמה היקף הים הפנימי (לא כולל השפה). אם כן לא נעשתה מדידה אחת פנימית ומדידה אחת חיצונית, כך שאולי אפשר היה להתאים את הפסוק למציאות.
- מטענה 7 וטענה 8 וטענה 9 נובע כי הפסוק שעליו מסתמכת הגמרא שהיחס בין היקף מעגל לקוטרו הינו 3, הוא פסוק המנוגד למציאות. ומסקנת הגמרא לא מאפשרת להתאים את הפסוק למציאות, שהרי אם נעמיד שההיקף נמדד מבפנים, והקוטר נמדד כולל השפה משני הכיוונים, ולכן הינו 10 אמות חיצוני ו-9.54 אמות פנימי – נוכל אולי להתאים את הפסוק למציאות, אולם הגמרא דוחה זאת מכל וכל בכך שמסקנתה שהמדידות נעשו רק מבפנים.
על מנת להבין את דברי רבותינו ז"ל ולהתאים את הפסוק למציאות, שהרי לא שייך לומר על פסוק שאינו מציאותי, יש לפרש את מהלך הגמרא כך: - 'כל שיש בהיקפו שלשה טפחים יש בו רחב טפח. מנא הני מילי?' [המשנה כותבת כי היחס בין היקף המעגל לקוטרו הינו 3, על זאת שואלת הגמרא, מהיכן לך? שהרי המציאות אינה כן והיחס בין היקף המעגל לקוטרו גדול מ-3 ואינו שווה ל-3]
- 'אמר רבי יוחנן, אמר קרא: ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגל סביב וחמש באמה קומתו וקו שלשים באמה יסב אתו סביב' [מתרץ רבי יוחנן כי יש סמך מהפסוק המתאר את הים שעשה שלמה. ואל לנו לחשוב כי רבי יוחנן מתרץ שביכולת הפסוק לשנות את המציאות הפשוטה, ומסיבת הפסוק נאמר שהיחס בין היקף מעגל לקוטרו הינו 3 ולא 3.14 כפי המציאות. אלא תירוצו של רבי יוחנן הינו כי ישנו פסוק מפורש האומר כי הקוטר הינו 10 אמות, וקו כלומר חבל של שלושים אמה יסב אותו סביב, לא נאמר בפסוק כי היקף הים היה 30 אמה אלא שחבל של 30 אמה סבב אותו, ומה עוד שאם השלושים אמה היה ההיקף הנלמד מעשר האמות קוטר, אזי מדוע הפסיק הפסוק וסיפר בגובה הים? היה לו לכתוב 'ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגל סביב וקו שלשים באמה יסב אותו סביב וחמש באמה קומתו', אלא שהפסיק הכתוב בגובה לומר לך ש-30 האמה הינן מידת החבל ולא מידת ההיקף של הים].
- מטענה 12 נובע כי אע"פ שבמציאות ההיקף של הים שעשה שלמה היה 10π שזה בערך 31.4 אמות, היה חבל מדידה (קו) המורה על מידה של 30 אמה מקיף אותו.
- מטענה 13 נובע כי הסקלה של חבל המדידה (הקו) שסיבב את הים שעשה שלמה היה 31.4 לחלק ל-30, כלומר 1.04719. דהיינו כל אמה בקו הייתה של 1.04719 אמות רגילות.
ולשם מה יש צורך בקו כזה? למה שלמה המלך עשה חבל מדידה משונה שכזה? - נניח ומדדנו את היקף המעגל שהוא 19 אמות, מה קוטר המעגל? בטוחני כי אף אחד לא יכול לומר את קוטר המעגל בלי להוציא מחשבון או לעשות חישוב עם עט ונייר. שהרי קוטר המעגל יהיה 19 לחלק ל-π, וזה שווה ל-6.047 אמות. הבעיה במספר π מלבד שאינו מספר רציונאלי, הוא גם מספר שקשה לחלק בו, על כן שלמה המלך עשה חבל מדידה (קו) שבמקום סקלה של 1 אמה יש בו סקלה של 1.04719 אמה. ועם קו זה מודדים היקפים של מעגלים, ולאחר מדידת ההיקף עם קו שכזה פשוט מחלקים ב-3 ומקבלים מיד את הקוטר. שהרי מדידת ההיקף חולקה ב-1.04719, וחלוקת מנת ההיקף במספר 3 תהיה אקוויוולנטית לחלוקת ההיקף המקורי במספר π, כי 1.04719 זה בעצם π לחלק ל-3.
ואילו היינו מודדים את אותו היקף של 19 אמות בקו של שלמה המלך היינו מקבלים כי היקף המעגל הינו 18.143 אמות, חלוקה פשוטה של 18 ב-3 תיתן 6, וחלוקה פשוטה של 0.143 ב-3 תיתן 0.047, חיבור של 6 ו-0.047 ייתן קוטר של 6.047 אמות. - מטענה 15 נובע שאת היקף המעגלים מודדים עם הקו של שלמה, על מנת לקבל בנקל את קוטר המעגל היותר חשוב מההיקף שהרי איתא במשנה במפורש 'עגולה – רואין אותה כאילו היא מרובעת' ועל מנת לעבור ממעגל לריבוע יש לדעת את הקוטר שהוא בעצם הצלע של הריבוע החוסם. ואם תאמר מה הבעיה למדוד את הקוטר וחסל? התשובה היא שבאמת במקרה שיש חתך לגליל הנמדד אז ישנה אפשרות למדוד את הקוטר ישירות וזאת בהנחה שמדדנו מהקצה לקצה ולא פיספסנו, אולם אם מדובר בקורה המחוברת לקיר או בגזע של אילן – אזי אין חתך של הגוף הנמדד (ולא היה קליפר בימים ההם) לכן מדידת ההיקף עם הקו של שלמה וחלוקת ההיקף ב-3 תתן לנו את קוטר הקורה או הגזע.
- וכעת אתי שפיר הגימטריא בין הקרי 'וקו' לכתיב 'וקוה' שהביא הרב מתתיה מונק ומקבלת משנה תוקף שהרי החלוקה של 'קוה' (111) ב'קו' (106) מרמזת לנו על סקלת הקו שעשה שלמה (1.0471698). ובכך גם הוסרה הקושיא כי קו קוה מופיע גם ללא קשר ל- π, שהרי הרמז לא עוסק ב-π אלא בסקלת הקו, אם כן רמז זה שייך בכל מקום שנאמר בו קו.
ונמשיך בהסבר דברי הגמרא - והא איכא שפתו! [מקשה הגמרא, הרי יש את עובי השפה, ואם מדידת הקוטר נעשתה משפה חיצונית לשפה חיצונית כולל העובי, ומדידת ההיקף נעשתה בפנים, הרי אפשר שהקו שסבב את הים היה קו עם סקלה של 1 אמה ולא קו מיוחד]
- 'אמר רב פפא: שפתו שפת פרח שושן כתיב ביה, דכתיב ועביו טפח ושפתו כמעשה כוס פרח שושן אלפים בת יכיל' [מתרץ רב פפא כי עובי השפה לא היה טפח אלא עובי דק, אם כן ניתן להזניח את העובי וחשבון סקלת הקו נשארת על כנה]
- והאיכא משהו! [מקשה הגמרא – הבאת ראייה כי העובי אינו טפח והינו עובי דק, אזי עדיין יש עובי שצריך לקחת בחשבון שהרי חשבון סקלת הקו חייב להיות מדויקת]
- כי קא חשיב - מגואי קא חשיב [מתרצת הגמרא כי המדידות נעשו אך ורק מבפנים לכן עובי שפת הים שעשה שלמה אינו רלוונטי כלל, וחישוב סקלת הקו נשארת על כנה].
נמצאנו למדים כי דברי המשנה עולים בקנה אחד עם המציאות וכל שיש בהיקפו 3 טפחים (שנמדדו עם הקו שעשה שלמה) יש ברוחבו טפח.
ונמצאנו למדים שעוד מימי שלמה המלך ידעו מהו π במדויק, ואף השכילו לייצר כלי מדידה שיתיאמו למספר זה.
ומכאן יש לנו בנין אב לכל החישובים "המוזרים" של חז"ל בעניין מעגלים וריבועים שמצביעין, ביכול, שחז"ל לא ידעו את היחס π.